3. CURVAS Y POLÍGONOS EN EL PLANO

 3.1. Curvas y regiones 

Una curva plana se puede describir de manera intuitiva e informal como el conjunto de puntos que un lápiz traza al ser desplazado por el plano sin ser levantado. Si el lápiz nunca pasa dos veces por un mismo punto se dice que la curva es simple. Si el lápiz se levanta en el mismo punto en que comenzó a trazar se dice que la curva es cerrada. . Si el único punto por el que el lápiz pasa dos veces es el del comienzo y final del trazado se dirá que la curva es cerrada y simple. Se requiere que las curvas tengan un punto inicial y otro final, por lo que las rectas, semirecta y ángulos no son curvas.

Teorema de la curva de Jordan: Una curva cerrada simple separa los puntos del plano en tres subconjuntos disjuntos: la propia curva, el interior, y el exterior de la curva. Esta propiedad parece obvia en casos sencillos, pero enunciada en términos generales requiere una demostración matemática nada fácil. Incluso la demostración dada por el matemático francés Camile Jordan (1838-1922) que enunció este teorema era incorrecta. El interior y el exterior de una curva cerrada simple se designan también como regiones. De manera más general el conjunto complementario, respecto del plano que las contiene, de conjuntos de rectas, semirectas y curvas está compuesto de una o más regiones. Por ejemplo, una recta separa al plano en dos regiones llamadas semiplanos. Un ángulo, si no es nulo o llano, separa al plano en dos regiones llamadas el interior y el exterior del ángulo.

 

Curvas y figuras convexas

 Una figura se dice que es convexa, si y sólo si, contiene el segmento PQ para cada par de puntos P y Q contenidos en la figura. Las figuras no convexas se dice que son cóncavas.

La circunferencia es una curva cerrada, convexa, tal que la distancia de cualquiera de sus puntos a otro fijo es constante. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio (también se llama radio al segmento que uno el centro con cualquier punto de la circunferencia; un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.