El arte de los recubrimientos, o teselaciones, del plano mediante figuras poligonales tiene
una historia tan antigua como la propia civilización. Diversos e imaginativos patrones han
decorado las construcciones y objetos más diversos (muros, alfombras, ventanales, etc.). En
tiempos recientes el interés por las teselaciones ha ido más allá de su interés puramente
decorativo. Por ejemplo, en metalurgia y cristalografía interesa saber cómo se disponen de
manera natural de una forma periódica. En arquitectura interesa conocer cómo se pueden
combinar componentes estructurales simples para crear complejos constructivos más grandes,
y los fabricantes de ordenadores esperan poder integrar los patrones de circuitos electrónicos
simples para formar potentes procesadores, como son las redes neuronales. Los análisis matemáticos de los patrones de recubrimientos es una respuesta a estas necesidades
contemporáneas. Al mismo tiempo la creación y exploración de las teselaciones o
recubrimientos del plano proporciona un contexto interesante para la investigación geométrica
y la resolución de problemas en las clases de matemáticas de educación primaria y secundaria.
EJEMPLO DE TESELACIONES
6.1. Teselaciones poligonales del plano
¿Qué polígonos, por sí mismos, cubren el plano sin dejar huecos ni solapamientos?
La
respuesta a esta pregunta pasa por estudiar los ángulos de tales polígonos, y tratar de sumar
con ellos 360º en torno a un vértice. Empecemos por el triángulo. Sabemos que la suma de los
ángulos interiores de un triángulo cualquiera es de 180º. Dibujemos un triángulo en el que
marcamos los ángulos con 1, 2 y 3, y hagamos suficientes copias de él. La experiencia
consiste en recortar dichos triángulos y colocarlos de forma que, en torno a un vértice,
obtengamos 360º para cubrir el plano sin dejar huecos ni solapamientos.
Tres de ellos los podemos unir colocando en torno a un vértice cada uno de los tres
ángulos del triángulo, que sabemos suman 180º y repetirlo dos veces (Fig. 17)
Repitiendo el proceso se consigue una teselación triangular (Fig. 18).
¿Qué ocurre con el pentágono? Dibujemos un pentágono cualquiera. Después de
marcar los ángulos y recortarlo,
coloquemos los ángulos de
manera contigua, como indica
la figura 19. Veremos que no
es posible obtener 360º en
torno a un vértice.
¿Le ocurre lo mismo a todos los pentágonos?
¿Qué ocurre con el pentágono regular? El ángulo interior vale 108º, y
por tanto no podemos conseguir 360º. ¿Significa esto que no existen teselaciones
pentagonales? La figura20 nos sacará de dudas.
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